Tartalom
azt jelenti, Feladat található a fejezet végén.
A kocka vagy hexaéder
Az oktaéder
A dodekaéder
Az ikozaéder
A platonikus testek közötti kapcsolatok
Egy test duálisa
Aranymetszés a dodeka-, ikoza-, és oktaéderben
Ikozaéder az oktaéderben
|
|
Az ilyen kockaforma megköveteli azt, hogy a test minden lapja és szeglete egybevágó legyen, élei pedig egyenl? hosszúak, különben lesznek olyan oldalak, amelyek "kifordulásának" valószín?sége nagyobb lesz, mint a többié, és így "unfair" lesz a játék.
Manapság a hexaéder a legelterjedtebb kockaforma, amelyik teljesen szabáyos test, de léteznek más olyan testek is, amelyek nem ilyen szabályosak, de más okokból kifolyólag mégis fair játszmát tesznek lehet?vé. Ezekr?l a lábjegyzetben olvashatsz.Csak öt dobókocka-forma létezik, amelyek eleget tesznek a következ?knek:
Nevüket a lapok számának megfelel?en kapták, ahol a tetra 4-et, a hexa 6-ot, az okta 8-at, a dodeka 12-t, az ikoza pedig 20-at jelent. Az -éder utótag a görög "hedron"-ból ered, melynek többesszáma "hedra".
A képekre kattintva egy-egy animációt láthatunk a testekr?l.
Sqrt(8) él? tetraéder koordinátái
:
2 egységnyi élhosszúságú kocka
(vagy hexaéder) koordinátái:
sqrt(2) élhosszúságú oktaéder
koordinátái:
2/Phi élhosszúságú dodekaéder
koordinátái:
2 egységnyi élhosszúságú ikozaéder
koordinátái:
Ha a dodekaéder lapközéppontjait megfelel?en kötjük
össze, három egymást metsz? téglalapot kapunk.
Mitöbb, aranytéglalapokat, miután éleinek aránya
az aranymetszés arányainak megfelel?en 1 és Phi.
Ezeket az aranytéglalapokat "felhasználva" könnyen
észrevehet?, hogy az ikozaéder koordiátái a
következ?képpen adódnak:
(0, ±1, ±phi), (±phi,
0, ±1), (±1, ±phi, 0).
Feladat Egy
érdekes módja az ikozaéder modell ezésének:
+--------------+ +-------------+ ! ! ! ! ! ====== ! ! =========== ! ! ! ! +--------------+ +-------------+2 db 1 db
Kihasználva a három aranytéglalap mer?legességét,
oktaédert is készíthetünk.
Ha ebben az oktaéderben a jobb oldali ábrán
látható módon összekötjük az élek
aranymetsz? pontjait, egy - az oktaéderbe illeszked? - ikozaédert
határozunk meg. Ebb?l a példából is kit?nik,
hogyan kapcsolhatók össze ezek a testek az aranymetszéssel.
Más platonikus testek platonikus
testekben:
Tetraéder a
kockában
A kocka egyik csúcsát
kiválasztva és a szomszédos lapok szemközti csúcsaival
összekötve egy tetraéder éleit kapjuk.
Oktaéder a tetraéderben
Egy tetraéder éleinek
oldalfelez? pontjai egy - a tetraéderbe illeszked? - oktaéder
csúcspontjai.
Oktaéder a kockában
Egy kocka szomszédos lapjainak
lapközéppontjait egy - a kockába illeszked? - oktéder
csúcspontjai.
A görögök
nagy jelent?séget tulajdonítottak annak a ténynek,
hogy csak öt szabályos test létezik. Éppen ezért
megfeleltették ?ket a négy elemnek, a t?znek, a víznek,
a földnek és a leveg?nek, valamint az Univerzumnak.
Kepler (1571-1630) a következ?képpen igazolta e megfeleltetéseket:
"A geometriának két hatalmas kincse van: az egyik Pitagorasz elmélete, a másik egy szakasznak a széls? és közbüls? arányban való felosztása. Az els?t az arany egy mértékegységéhez hasonlítjuk, a másikat pedig egy kecses ékszerként emlegetjük.De ennél is magasztosabban fogalmaz az aranymetszésr?l másutt:
"Ez a mérteni arány lehetett, úgy vélem, a Teremt? ideája a hasonlónak hasonlóból való nemz?désének bevezetésére."
Johannes Kepler, (1571-1630)
Ha tudsz németül, figyelmedbe ajánlom Theodor Landscheit:
Die kosmische Funktion des Goldenen Schnitts c. cikkét Kepler
platonikus testek iránti érdekl?désér?l. (A
cikket megtalálhatod: Sterne, Mond, Kometen, Bremen und
die Astronomie zum 75. Jahrestag der Olbers-Gesell-schaft Bremen e.V.
Verlag H. M. Hauschild, Bremen 1995.
|
Ezt bizonyítandó, vess egy pillantást a tetraédert kockában ábrázoló képre. Képzelj el a térben egy rácsot, mely úgy néz ki, mintha kockák vázainak sokasága lenne egymáshoz illesztve, és gondolatban az egyik kockában helyezz el egy tetraédert! Ahhoz a négy csúcshoz, amelyet a tetraéder is érint, további tetraédereket érintve - más-más kockákban - olyan térkitöltéshez jutunk, ahol a tetraéderek által szabadon hagyot terek oktaéderekkel hézagmentesen kitölthet?k. Ezt megnézheted Mark Somer oldalán, amely Amy C. Edmonton könyvének online változata: A Fuller Explanation about the geometry of R Buckminster Fuller, chapter 12 Figure 12.2 [Érdemes átböngészni ezt az "könyvet", mert sok érdekesség olvasható a testek térkitöltésével kapcsolatban.]
Meglep? kapcsolat fedezhet? fel ugyanis az átlóik között;
mégpedig az, hogy
Ez pedig azt jelenti,
hogy a rombusz félszögeinek tangensei Phi é phi.
Így a rombusz szögei 2*31.717474..° = 2*0.55357435889r
és 2*58.282525588° = 2*1.0172219674.
[A Penrose-féle csempék
szögei 2/5 pi és 3/5 pi (72° és 108°) az egyikben,
és 1/5 pi és 4/5 pi (36° és 144°) a másikban.]
A két test hasonló a
kockához, de a lapjai aranyrombuszok. Az els? alakzat két,
három aranyrombusz kisebb lapszögeinél való tölcsér-szer?
összeállításából illeszthet? össze.
Ezt a 6 lapú testet prolate romboéder
nek nevezzük.
A másik alakzat szintén
három aranyrombusz összekapcsolásával keletkezik,
de ezúttal nem a kisebb, hanem a nagyobb lapszögeik mentén.
Ezt a három rombuszból összekapcsolt formát megduplázba
és összeillesztve ismét egy 6 lapú kockához
hasonló testet kapunk. Ezt oblate romboéder
nek nevezzük.
Ezek a testek
úgy néznek ki, mintha ferde kockák lennének.
Sok ilyen testtel valóban hézagmentesen
kitölthet? bármekkora tér. Azonban míg a kockával
és az oktaéderrel való térkitöltésnél
a testeket mindíg ugyanabban a helyzetben tudjuk egymás mellé
rakni, addig a romboédereket mindíg a megfelel? pozitúrába
kell fordítgani.
Az 1950-es években fedeztek
fel olyan kristályszerkezeteket, melyek hasonlóan épültek
fel a romboéderek által kitöltött tér vázához.
A felfedezés azért volt meglep?, mert korábban teljesen
kizárták a nem szimmetrikus szerkezet? kristályok
létezését. Mivel mégis létezik ilyen,
elnevezték ?ket kvázi-kristályok .
A kristályok a legszimmetrikusabb
struktúrák (minden épít?egységre nézve
azonos helyzet?ek) ugyanúgy megtalálhatók a cukorban
vagy a sóban, mint a gyémántban vagy a kvarcban.
A kvázikristályok meglep?en
új formájú anyagok. Kristályos és nemkristály-szerkezet?
(pl. üveg) anyagok tulajdonságai egyaránt megfigyelhet?ek
náluk. 1984-ben fedezték fel ezt a lehetetlennek tartott
"ötszimmetriájú" struktúrát
egy alumínium-magnézium (Al
6Mn) vegyületben.
D Shechtman, I Blech, D Gratias, J W Cahn Metallic phase with long-range
orientational order and no translational symmetry Physics Review
Letters 1984, Vol 53, pages 1951-1953.
H S M Coxeter: Regular
Polytopes , (Third Ed) 1973, Dover, pages 52-53. Nagyon népszer?
könyv, nagyon alacsony áron - érdemes beszerezni!
H S M Coxeter: Introduction
to Geometry , 1961, John Wiley, (Kötelez?! Külön figyelmet
érdemel a 11.2: De Divina Proportione cím? fejezet.
A csempézés témakörében klasszikusnak
és enciklopédiának is tekinthet? Grunbaum and Shepard:
Tilings and Patterns Freeman and Co, 1986. Megéri kicsit
beeásnunk magunkat, mert a képek ámulatba ejtenek.
Fractals,
Chaos and Power Laws , M Schroeder, W H Freeman publishers, 1991. Ez
is egy magával ragadó könyv.
Magyar nyelv? könyvek:
Sain Márton: Nincs királyi
út!, Magvet?, Budapest, 1986
Hámori Miklós: Arányok
és talányok, Typotex, 1994
Falus Róbert: Az aranymetszés
legendája, Magyar Könyvklub, Budapest, 2001
Ha Penrose és a kvázikristályok felkeltették az érdekl?désedet, b?vebb információkat a www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matemetika/speckoll/2000/penrose/Kvazikristalyok.html oldalon olvashats róluk.
Platón úgy vélte, hogy az érzékekkel tapasztalható, változó, látszólagos dolgok mellett van egy másik, valóságos világ, a változást nem ismer?, amely az érzékelhet? dolgok absztrakcióit, ideáit tartalmazza. Az utóbbi teszi csak lehet?vé az igazi tudást, és ez csak gondolkozással közelíthet? meg. Platón azonban, hogy a geometriát is "szalonképessé" tegye filozófiájában, a látszólagos világ és az ideák világa közé iktatta azt a birodalmat, amely maga változatlan, de amelyben a változások lefolynak, vagyis a teret. Ennek a változásokat magába foglaló, változatlan világnak, a térnek a tudománya a geometria.Ne lépjen ide be senki, aki nem ismeri a geometriát!
Az öt szabályos testet Platónról nevezték el platonikus testeknek.
A kilenc axióma (olyan igazságok, melyeket a logikus gondolkodás érdekében kényszerülünk elfogadni, tehát kényszerít? erej?ek) a következ?k:
1. Amik ugyanazzal
egyenl?k, egymással is egyel?k.
2. Ha egyenl?khöz
egyenl?ket adunk hozzá, az összegek egyenl?k.
3. Ha egyenl?kb?l
egyenl?ket veszünk el, a maradékok egyenl?k.
4. Ha nem egyenl?khöz
egyenl?ket adunk hozzá, az összegek nem egyenl?k.
5. Ugyanannak
kétszeresei egyenl?k egymással.
6. Ugyanannak
fele részei egyenl?k egymással.
7. Az egymásra
illeszked?k egyenl?k egymással.
8. Az egész
nagyobb a résznél.
9. két
egyenes vonal nem fog közre terletet.
Az öt posztulátum (olyan állítások, mlyek nem a gondolkodásunk alappillérei, tehát elfogadásuk nem kötelez?) a következ?k:
1. Követeltessék
meg, hogy minden pontpól minden ponthoz legyen egyenes húzható.
2. És
hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható
legyen.
3. És
hogy minden középponttal és távolsággal
legyen kör rajzolható.
4. És
hogy minden derékszög egymással egyenl? legyen.
5. És
hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik
oldalon kötelez? bels? szögek (összegben) két derékszögnél
kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva
találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) ket
derékszögnél kisebb szögek vannak.
Mint
már említtem, a görögök ismerték az
öt "dobókocka-formát" (Ez azt jelenti, olyan test, amelyet
ha feldobunk, bármelyik oldalára egyen? eséllyel ér
földet. Ez pedig csak akkor lehetséges, ha a test minden éle,
szeglete és lapja egybevágó). A rómaiak kockázáshoz
a hexaédert használták leginkább, és
manapság is ez a forma a legelterjedtebb formája a dobókockáknak.
Egy kis nyelvi okoskodás angolul tudóknak. El?ljárban annyit, hogy angol nyelvterületen a fair-dice elnevezés használatos a magyar "dobókocka" megfelel?jének.A platonikus testek, mint dobókockák:Should we say one die or one dice ?
The dictionary says that die is singular and dice is its plural form, so we ought to speak of throwing a die or two dice.
These days the plural word dice is often used for one die and the dictionary recognises this also.
A popular gambling game from at least Roman times involved throwing dice and is also called casting the dice. Some of the Roman soldiers "cast lots" for the clothes of Jesus at his crucifiction. Today we still use the phrase the die is cast. I used to think this phrase meant that a mould (US spelling=mold) had been made since we also read of someone being cast in the heroic mould as if they had been molten metal poured into a mould from which they solidify into a heroic shape. However I was wrong and it is just another use of the word die.
The real meaning of the phrase the die is cast is that a dice (one!) has been thrown (cast) meaning that, as in a game of chance, "the outcome is now fixed, the decision is made"
4 oldalú: a tetraéderVannak másmilyen alakú dobókockák is, ha nem kötjük ki, hogy minden él egyenl? hosszú legyen, vagy megengedjük a síkbeli formákat is úgy, hogy még mindíg megfeleljenek a célnak.Ha meg
6 oldalú: a kocka, vagy hexaéder
8 oldalú: az oktaéder
12 oldalú: a dodekaéder
20 oldelú: az ikozaéder
engedjük az élhosszak
különböz?ségét, egy prizmával
(~ kihegyezetlen ceruza) is játszhatunk. Ha ezt a prizmát/
ceruzát gurítjuk, akkor matemetikailag minden oldalának
egyenl? esélye van arra, hogy a megállva felülre kerüljön.
Képzeljünk el egy 8 és egy 7 vagy 27 oldalú ceruzát.
Ha páratlan számú oldala van, akkor egyik oldal sem
lehet felül. Ilyenkor megállapodás szerint az a szám
nyer, amelyik azon az oldalon van, amelyik legalul van.Alakzato
k másik formája a pörgetty? ami megtalálható
néhány társasjátékban. Ebben az esetben
egy szabályos poligonnal játszunk, nem pedig testtel, de
amiért mégis idesorolható, az az, hogy a poligon szabályossága
lévén megpörgetve ezt a pörgetty?t, mindegyik oldalának
ugyanakkora esélye van arra, h éppen arra essen, vagyis fair
játékot biztosít.
Két
n-oldalú szabályos sokszög alapú gúlát
az alapjainál összeillesztve egy duplapiramist vagy más
néven bi-piramist kapunk, ami a kockázáshoz
ideális. A mellékelt ábra egy 12 oldalú
kockát mutat, ami két szabályos hatszög alapú
gúlából épül fel. Nevezhetjük ezt
bi-hexaédernek is.
Ha hatszög helyett ötszöget
használunk, akkor 10 oldalú bi-piramist kapunk, amivel 10
számot sorsolhatunk ki.
Két ilyen testet használva,
például egy pirosat és
egy zöld et, generálható
az összes egy- és kétjegy? pozitív egész
szám a következ? módon: a piros jelentse a tizes helyiérék?
számokat, a zöld pedig az egyes helyiérték? számokat.
Így a 00
és a 99
közötti bármelyik szám kisorsolható. Ha
még egy más szín?, pl. kék
bi-piramist is bevonunk a játékba, akkor már nem 99-ig,
hanem 999-ig játszhatunk a számokkal, és így
tovább.
A bi-piramisok el?nye, hogy akárhogyan landol, mindíg csak egy oldala lesz felül.
[Vissza a szöveghez
.]
|
